已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明存在x0∈使得F’’(x0)=0.

admin2016-10-20  78

问题 已知以2π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)=(sinx-1)2f(x),证明存在x0使得F’’(x0)=0.

选项

答案显然F(0)=[*],于是由罗尔定理知,存在[*],使得F’(x1)=0.又 F’(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)2f’(x), [*] 对F’(x)应用罗尔定理,由于F(x)二阶可导,则存在[*],使得F’’(x*0)=0. 注意到F(x)以2π为周期,F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数,于是存在x0=2π+x*0,即[*],使得 F’’(x0)=F’’’(x*0)=0.

解析 首先,因f(x)是周期为2π的周期函数,则F(x)也必为周期函数,且周期为2π,于是只需证明存在,使得F’’(x*0)=0即可.
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