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设实二次型f=χTAχ经过正交变换化为标准形2y12-y22-y32,又设α=(1,1,1)T满足A*α=α,求A。
设实二次型f=χTAχ经过正交变换化为标准形2y12-y22-y32,又设α=(1,1,1)T满足A*α=α,求A。
admin
2020-08-03
32
问题
设实二次型f=χ
T
Aχ经过正交变换化为标准形2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,又设α=(1,1,1)
T
满足A
*
α=α,求A。
选项
答案
由于f=χ
T
Aχ经过正交变换化为标准形2y
1
2
-y
2
2
-y
3
2
,可知A的特征值为2,-1,-1。又由于A
*
α=α,等式两边同时左乘A可得|A|α=Aα,其中|A|=2,可知α即为矩阵A属于特征值2的特征向量。 由于A为实对称矩阵,属于不同特征值的特征向量正交,可知特征值-1的特征向量满足χ
1
+χ
2
+χ
3
=0,解得基础解系为 β
1
=(1,-1,0),β
2
=(1,0,-1)。 可知β,β即为属于特征值-1的两个线性无关的特征向量。 令P=(α,β
1
,β
2
)=[*] 则有P
-1
AP=∧=[*] 所以A=[*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/10v4777K
0
考研数学一
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