设实二次型f＝χTAχ经过正交变换化为标准形2y12－y22－y32，又设α＝(1，1，1)T满足A*α＝α，求A。

admin2020-08-03 27

问题设实二次型f＝χ^TAχ经过正交变换化为标准形2y₁²－y₂²－y₃²，又设α＝(1，1，1)^T满足A^*α＝α，求A。

选项

答案由于f＝χ^TAχ经过正交变换化为标准形2y₁²－y₂²－y₃²，可知A的特征值为2，－1，－1。又由于A^*α＝α，等式两边同时左乘A可得｜A｜α＝Aα，其中｜A｜＝2，可知α即为矩阵A属于特征值2的特征向量。由于A为实对称矩阵，属于不同特征值的特征向量正交，可知特征值－1的特征向量满足χ₁＋χ₂＋χ₃＝0，解得基础解系为 β₁＝(1，－1，0)，β₂＝(1，0，－1)。可知β，β即为属于特征值－1的两个线性无关的特征向量。令P＝(α，β₁，β₂)＝[*] 则有P^-1AP＝∧＝[*] 所以A＝[*]

解析

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考研数学一

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