已知矩阵有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求An．

admin2019-07-01 87

问题已知矩阵

有三个线性无关的特征向量，求a的值，并求Aⁿ．

选项

答案由矩阵A的特征多项式[*]可知矩阵A的特征值是1，1，2．因为A有3个线性无关的特征向量，故A可化为相似对角矩阵．对应重根λ₁=λ₂=1，应该有2个线性无关的特征向量．于是r(1.E—A)=3—2=1，即r(E—A)=1．又[*]故a=1,由(E-A)x=0,即[*]．得基础解系α₁=(1，0，1)^T，α₂=(0，1，0)^T．由(2E—A)x=0，即[*]得基础解系α₃=(2，一1，3)^T．那么令P=(α₁,α₂,α₃)，有P^-1AP=A=[*]从而A=PAP^-1．于是Aⁿ=PⁿP^-1[*]

解析

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考研数学一

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已知矩阵A=．设3阶矩阵B=(β1，β2，β3)满足B2=BA，记B100=(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
讨论三个平面：x+2y+z=1，2x+3y+(a+2)z=3，x+ay一2z=0的相互位置关系．
已知齐次线性方程组其中ai≠0．试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2)方程组有非零解．在有非零解时，求此方程组的一个基础解系．
已知矩阵B=相似于对角矩阵A．利用正交变换将二次型XTBX化为标准形，并写出所用的正交变换；
设A是n阶实时称矩阵，证明：必可找到一个数a．使A+aE为对称正定矩阵．
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设矩阵A=相似于对角矩阵．求一个正交变换，将二次型f(x1，x2，x3)=xTAx化为标准形，其中x=(x1，x2，x3)T．
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设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量，α1≠0，满足Aα1=2α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α2+2α3．A能否相似于对角矩阵，说明理由．
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