设当｜x｜＜1时展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝，则关于它的系数an(n＝0，1，2，…)成立的关系式为 ( )

admin2019-07-01 38

问题设当｜x｜＜1时

展开成收敛于它自身的幂级数f(x)＝

，则关于它的系数a_n(n＝0，1，2，…)成立的关系式为 ( )

选项 A、a_n＋2＝a_n＋1＋a_n．
B、a_n－3＝a_n．
C、a_n＋4＝a_n＋2＋a_n．
D、a_n－6＝a_n．

答案D

解析由

，得f(0)＝1，再由
f(x)(x₂－x＋1)＝x＋1，(*)
两边对x求一阶导数，得 f＇(x)(x²－x＋1)＋f(x)(2x－1)＝1，
将x＝0代入，得 f＇(0)－f(0)＝1，f＇(0)＝f(0)＋1＝2．
在(*)式两边对x求n阶导数，n≥2，有
f⁽ⁿ⁾(x)(x²－x＋1)＋C_n¹f^(n－1)(x)(2x－1)＋C_n²f^(n－2)(x)?2＝0，
将x＝0代入，得 f⁽ⁿ⁾(0)－C_n¹f^(n-1)(0)＋2C_n²f^{(n－2)(0)＝0，
即 f⁽ⁿ⁾(0)＝nf^(n－1)(0)－n(n－1)f^(n－2)(0)，n＝2，3，…．

或写成 a_n＋2＝a_n＋1－a_n，n＝0，1，2，…．(**)
现在验算(A)，(B)，(C)，(D)中哪一个正确．
显然，由递推公式(**)知，(A)的左边a_n＋2＝a_n＋1－a_n，仅当a_n＝0时才有(A)的左边等于(A)的右边，故(A)不正确．
再验算(B)，(B)的左边
a_n＋3＝a_n＋2－a_n＋1＝a_a＋1－a_n－a_n＋1＝－a_n，
所以仅当a_n＝0时(B)的左边等于(B)的右边，故(B)不正确．
再验算(C)，(C)的左边
a_n＋4＝a_n＋3－a_n＋2＝a_n＋2－a_n＋1－a_n＋2＝－a_n＋1．
(C)的右边 a_n＋2＋a_n＝a_n＋1－a_n＋a_n＝a_n＋1．
(C)的左边等于(C)的右边，得a_n＋1＝0，n＝0，1，2，…．但这不正确，所以(C)也不正确．
余下只有(D)．
以下也可直接验算(D)正确．由已证(**)式，所以对一切n，有
a_n＋6＝a_n＋5－a_n＋4＝a_n＋4－a_n＋3－a_n＋4＝－a_n＋3，
从而 a_n＋6＝－a_n＋3＝－(－a_n)＝a_n，n＝0，1，2，…．}

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