设A是n阶矩阵，满足A2=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：其中Er是r阶单位阵．

admin2020-03-16 42

问题设A是n阶矩阵，满足A²=A，且r(A)=r(0＜r≤n)，证明：

其中E_r是r阶单位阵．

选项

答案A²=A，A的特征值的取值为1，0，由A—A²=A(E-A)=0知 r(A)+r(E—A)≤n， r(A)+r(E一A)≥r(A+E一A)=r(E)=n，故r(A)+r(E—A)=n，r(A)=r，从而r(E一A)=n一r．对λ=1，(E-A)X=0，因r(E一A)=n一r，故有r个线性无关特征向量，设为ξ₁，ξ₂，…，ξ_r；对λ=0，(0E-A)X=0，即AX=0，因r(A)=r，有n-r个线性无关特征向量，设为ξ_r+1，ξ_r+2…，ξ_n．故存在可逆阵 P=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，使得[*]

解析

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考研数学二

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