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[2010年]记un=∫01∣1nt∣[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限un.
[2010年]记un=∫01∣1nt∣[ln(1+t)]ndt(n=1,2,…),求极限un.
admin
2019-04-05
109
问题
[2010年]记u
n
=∫
0
1
∣1nt∣[ln(1+t)]
n
dt(n=1,2,…),求极限
u
n
.
选项
答案
利用夹逼准则证之. 证一 因∫
0
1
∣lnt∣t
n
dt=一∫
0
1
t
n
lnt=一[*]∫
0
1
lnt dt
n+1
=一[*] 则0<u
n
<∫
0
1
t
n
∣lnt∣dt=[*]由夹逼准则得到 0≤[*]=0, 即[*]u
n
=0. 证二 由(Ⅰ)知,0≤u
n
=I ∣lnt∣[ln(1+t)]
n
dt≤(ln2)
n
I ∣lnt∣dt.而反常积分 I ∣lnt∣dt收敛.事实上,有 ∫
0
1
∣lnt∣dt=一∫
0
1
lnt dt=-tlnt∣
0
1
+∫
0
1
dt=0+1=1. 又∣ln2<1,故[*]ln
n
2=0,由夹逼准则知[*]u
n
=0. 证三 由(I)知,0≤u
n
=∫
0
1
∣lnt∣[ln(1+t)]
n
dt≤∫
0
1
t
n
∣lnt∣dt =一∫
0
1
t
n
lntdt=一∫
0
1
t
n-1
(tlnt)dt. 又[*]tlnt=0,故存在M>0,使0≤t lnt≤M,t∈(0,1).因而 0≤u
n
≤∫
0
1
t
n
∣lnt∣dt=一∫
0
1
t
n-1
(tlnt)dt≤M∫
0
1
t
n-1
dt=[*]→0(n→∞) 由夹逼准则知,[*]u
n
=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/mJV4777K
0
考研数学二
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