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  3. [2010年]记un=∫01∣1nt∣[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限un.

[2010年]记un=∫01∣1nt∣[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限un.

admin2019-04-05  117
问题 [2010年]记un=∫01∣1nt∣[ln(1+t)]ndt(n=1，2，…)，求极限un.
选项
答案利用夹逼准则证之． 证一 因∫01∣lnt∣tndt=一∫01tnlnt=一[*]∫01lnt dtn+1 =一[*] 则0＜un＜∫01tn∣lnt∣dt=[*]由夹逼准则得到 0≤[*]=0， 即[*]un=0． 证二 由(Ⅰ)知，0≤un=I ∣lnt∣[ln(1+t)]ndt≤(ln2)nI ∣lnt∣dt．而反常积分 I ∣lnt∣dt收敛．事实上，有 ∫01∣lnt∣dt=一∫01lnt dt=－tlnt∣01+∫01dt=0+1=1． 又∣ln2＜1，故[*]lnn2=0，由夹逼准则知[*]un=0． 证三 由(I)知，0≤un=∫01∣lnt∣[ln(1+t)]ndt≤∫01tn∣lnt∣dt =一∫01tnlntdt=一∫01tn-1(tlnt)dt． 又[*]tlnt=0，故存在M＞0，使0≤t lnt≤M，t∈(0，1)．因而 0≤un≤∫01tn∣lnt∣dt=一∫01tn-1(tlnt)dt≤M∫01tn-1dt=[*]→0(n→∞) 由夹逼准则知，[*]un=0．
解析
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考研数学二

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