)设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+axx22+(a一1)xx32+21x2—22x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (II)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

admin2016-04-11 39

问题 )设二次型
f(x₁，x₂，x₃)=ax₁²+axx₂²+(a一1)xx₃²+2₁x₂—2₂x₃．
(I)求二次型f的矩阵的所有特征值；
(II)若二次型f的规范形为y₁²+y₂²，求a的值．

选项

答案(I)[*] =(λ一a)[(λ一a)²+(λ一a)一2]=(λ一a)(λ—a+2)(λ一a一1)=0，得A的特征值为λ₁=a，λ₂=a一2，λ₃=a+1． (Ⅱ)由f的规范形知f的秩为2，正惯性指数为2(负惯性指数为0)，因此，A的特征值2个为正，1个为0．若λ₁=a=0，则λ₂=一2＜0，λ₃=1，不合题意；若λ₂=a一2=0，则a=2，λ₁=2，λ₃=3，符合题意；若λ₃=a+1=0，则a=一1，λ₁=一1＜0，λ₂=3＜0，不合题意．故a=2．

解析

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考研数学一

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)设二次型 f(x1，x2，x3)=ax12+axx22+(a一1)xx32+21x2—22x3． (I)求二次型f的矩阵的所有特征值； (II)若二次型f的规范形为y12+y22，求a的值．

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