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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0,证明:方程f"(x)-f(x)=0在(0,1)内有根。
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0,证明:方程f"(x)-f(x)=0在(0,1)内有根。
admin
2021-11-25
69
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0,证明:方程f"(x)-f(x)=0在(0,1)内有根。
选项
答案
令ψ(x)=e
-x
[f(x)+f’(x)] 因为ψ(0)=ψ(1)=0,所以由罗尔定理,存在c∈(0,1),使得ψ’(c)=0, ψ’(x)=e
-x
[f"(x)-f(x)]且e
-x
≠0,所以方程f"(x)-f(x)=0在(0,1)内有根。
解析
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考研数学二
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