2. 考研
  3. (2013年)设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)．则｜A｜=________．

(2013年)设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)．则｜A｜=________．

admin2018-07-30  52
问题 (2013年)设A=(aij)是3阶非零矩阵，｜A｜为A的行列式，Aij为aij的代数余子式．若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)．则｜A｜=________．
选项
答案-1
解析 由A≠O，不妨设a11≠0，由已知的Aij=-aij(i，j=1，2，3)，得
｜A｜=aijA1j=aij(-a1j)=a1j2≠0，
及A=(A*)T，其中A*为A的伴随矩阵．以下有两种方法：
    方法1：用AT右乘A=-(A*)T的两端，得
AT=-(A*)AT=-(AA*)T=-(｜A｜I)T，
其中I为3阶单位矩阵，上式两端取行列式，得
    ｜A｜T=(-1)3｜A｜2，或｜A｜2(1+｜A｜)=0，
因｜A｜≠0，所以｜A｜=-1．
    方法2：从A=-(A*)T两端取行列式，并利用｜A*｜=｜A｜2，得
    ｜A｜=(-1)3｜A*｜=-｜A｜2，或｜A｜(1+｜A｜)=0，
因｜A｜≠0，所以｜A｜=-1．
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考研数学二

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