（2007年真题）设函数f(x)可导，且f(0)=1，f’(-lnx)=x，则f(1)=[ ]。

admin2015-04-14 73

问题（2007年真题）设函数f(x)可导，且f(0)=1，f’(-lnx)=x，则f(1)=[ ]。

选项 A、2-e^-1
B、1-e^-1
C、1+e^-1
D、e^-1

答案A

解析本题考查变量替换及求原函数。
解法1
令-lnx=t，则x=e^-1，从而f’(t)=e^t，求积分得f(t)=-e^-t+C，将f(0)=1代入其中，得C=2，因此f(1)=2-e^-1故正确选项为A。
解法2
也可用定积分计算本题，f(1)-f(0)=∫₀¹f’(t)dt=∫₀¹e^-tdt=-e^-t|₀¹=1-e^-1，f(1)^-1=1-e^-1+f(0)=2-e^-1。

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