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设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数,若f在(-∞,+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞,+∞),使f”(ξ)=0.
设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数,若f在(-∞,+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞,+∞),使f”(ξ)=0.
admin
2022-11-23
32
问题
设f为(-∞,+∞)上的二阶可导函数,若f在(-∞,+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞,+∞),使f”(ξ)=0.
选项
答案
先证f”(x)在(-∞,+∞)上不能恒为正,也不能恒为负.用反证法. 不妨设恒有有f”(x)>0,x∈(-∞,+∞).则存在x
0
∈(-∞,+∞),使得f’(x
0
)≠0,不妨设f’(x
0
)>0,由泰勒定理得,f(x)=f(x
0
)+f’(x
0
)(x-x
0
)+[*](x-x
0
)
2
(ξ介于x
0
,x之间).于是[*],这与f(x)在(-∞,+∞)上有界矛盾. 再用反证法证明原命题.假设不存在ξ∈(-∞,+∞),使f”(ξ)=0.则存在a.b,使得f”(a)<0,f”(b)>0,对f’(x)应用达布定理可知,存在ξ∈(-∞,+∞),使得f”(ξ)=0,此与假设矛盾,故原命题得证.
解析
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考研数学三
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