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  3. 设f为(-∞，+∞)上的二阶可导函数，若f在(-∞，+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞，+∞)，使f”(ξ)=0．

设f为(-∞，+∞)上的二阶可导函数，若f在(-∞，+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞，+∞)，使f”(ξ)=0．

admin2022-11-23  27
问题 设f为(-∞，+∞)上的二阶可导函数，若f在(-∞，+∞)上有界,则存在ξ∈(-∞，+∞)，使f”(ξ)=0．
选项
答案先证f”(x)在(-∞，+∞)上不能恒为正，也不能恒为负．用反证法． 不妨设恒有有f”(x)＞0，x∈(-∞，+∞)．则存在x0∈(-∞，+∞)，使得f’(x0)≠0，不妨设f’(x0)＞0，由泰勒定理得，f(x)=f(x0)+f’(x0)(x-x0)+[*](x-x0)2(ξ介于x0，x之间)．于是[*]，这与f(x)在(-∞，+∞)上有界矛盾． 再用反证法证明原命题．假设不存在ξ∈(-∞，+∞)，使f”(ξ)=0．则存在a．b，使得f”(a)＜0，f”(b)＞0，对f’(x)应用达布定理可知，存在ξ∈(-∞，+∞)，使得f”(ξ)=0，此与假设矛盾，故原命题得证．
解析
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考研数学三

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