设a，b，c＞0，在椭球面=1的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小．

admin2018-06-15 52

问题设a，b，c＞0，在椭球面

=1的第一卦限部分求一点，使得该点处的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积最小．

选项

答案先写出椭球面上[*]点(x，y，z)处的切平面方程，然后求出它在三条坐标轴上的截距，由此可写出四面体的体积表达式V(x，y，z)．问题化为求V(x，y，z)在条件[*]=1下的最小值点．将椭球面方程改写成G(x，y，z)≡[*]－1=0． [*]椭球面第一卦限部分上[*]点(x，y，z)处的切平面方程是 [*] 其中(X，Y，Z)为切平面上任意点的坐标．分别令Y=Z=0，Z=X=0，X=Y=0，得该切平面与三条坐标轴的交点分别为 [*] 为了简化计算，问题转化成求V₀=xyz(x＞0，y＞0，z＞0)在条件[*]=1下的最大值点．令F(x，y，z，λ)=xyz+λ([*]－1)，求解方程组 [*] 将方程①，②，③分别乘x，y，z得x²／a²=y²／b²=z²／c²．代入方程④得 [*] 因实际问题存在最小值，因此椭球面上点(x，y，z)=([*])处相应的四面体的体积最小．

解析

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考研数学一

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