设y=y(x)是由方程2y3—2y2+2xy一x2=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

admin2018-11-21 56

问题设y=y(x)是由方程2y³—2y²+2xy一x²=1确定的，求y=y(x)的驻点，并判定其驻点是否是极值点?

选项

答案(Ⅰ)先用隐函数求导法求出y’(x)．将方程两边对x求导得 6y²y’一4yy’+2xy’+2y一2x=0，整理得 y’=[*]． ① (Ⅱ)由y’(x)=0及原方程确定驻点．由y’(x)=0得y=x代入原方程得 2x³一2x²+2xx一x²=1，即 x³一x²+x³一1=0， (x一1)(2x²+x+1)=0．仅有根x=1．当y=x=1时，3y²—2y+x≠0．因此求得驻点x=1． (Ⅲ)判定驻点是否是极值点．将①式化为(3y²—2y+x)y’=x一y． ② 将②式两边对x在x=1求导，注意y’(1)=0，y(1)=l，得 2y"(1)=1，y"(1)=[*]＞0．故x=1是隐函数y(x)的极小值点．

解析

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考研数学一

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