2. 考研
  3. 已知三元二次型 f(x1，x2，x3)＝XTAX， 矩阵A的对角元素之和为3，且AB＋B＝0，其中 　 (1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换； (2)求出此二次型； (3)若β＝[4，一1，0]T，求Anβ．

已知三元二次型 f(x1，x2，x3)＝XTAX， 矩阵A的对角元素之和为3，且AB＋B＝0，其中 　 (1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换； (2)求出此二次型； (3)若β＝[4，一1，0]T，求Anβ．

admin2016-01-25  16
问题 已知三元二次型
f(x1，x2，x3)＝XTAX，
矩阵A的对角元素之和为3，且AB＋B＝0，其中
　
(1)用正交变换将二次型化为标准形，并写出所用的坐标变换；
(2)求出此二次型；
(3)若β＝[4，一1，0]T，求Anβ．
选项
答案(1)令β＝[α1，α2，α3]，αi为B的列向量，显然α1，α2线性无关，α3＝α1＋α2，因而 r(B)＝2，由AB＝－B得到 A[α1，α2，α3]＝一[α1，α2，α3]， 即 Aα1＝一α1，Aα2＝－α2，Aα3＝－α3 因α1，α2线性无关，故属于特征值一1的有两个线性无关的特征向量，所以λ1＝λ2＝一1为二重特征值．又因A的主对角线上的元素之和为λ1＋λ2＋λ3＝3，故另一特征值为λ3＝5． 设属于λ3＝5的特征向量为α＝[x1，x2，x3]T，则 αα1T＝0，αα2T＝0 解 [*] 因 [*] 故 α＝[1，1，1]T 对α1，α2进行施密特正交化得到 [*] 再将β1，β2，β3单位化，得到 [*] 令Q＝[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，且经正交变换X＝QY后，二次型的标准形为 [*] (2)由 Q－1AQ＝QTAQ＝[*] 得到 [*] 故 f＝ATAX＝[*]＋4x1x2＋4x2x3＋4x1x3． (3)设 β＝k1α1＋k2α2＋k3α3 解得 k1＝3，k2＝－2，k3＝1． 因此 β＝3α1－2α2＋α，而Aα1＝－α1，Aα2＝－α2，Aα＝5α 故 Anβ＝An(3α1－2α2＋α)＝3Anα1－2Anα2＋Anα ＝3(－1)nα1－2(－1)nα2＋5nα [*]
解析 先由AB＝－B，B＝[α1，α2，α3]得到Aαi＝－αi(i＝1，2，3)，从而求出A的部分特征值及其特征向量．再由主对角元素之和为3即可求出A的全部特征值．再由特征向量正交，求出其余的特征向量，再正交单位化，即可得到正交变换矩阵Q，从而可求出A，将β写成特征向量的线性组合即可求出Anβ
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考研数学三

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