设f(x)满足f’(x)+f(x)=ne-xcos nx，n为正整数，f(0)=0．设an=∫02πf(x)dx，求级数的和．

admin2022-04-27 75

问题设f(x)满足f’(x)+f(x)=ne^-xcos nx，n为正整数，f(0)=0．
设a_n=∫₀^2πf(x)dx，求级数

的和．

选项

答案a_n=∫₀^2πf(x)dx=∫₀^2πe^-xsin nxdx=-∫₀^2πsin nxd(e^-x) =-(e^-xsin nx｜₀^2π-n∫₀^2πe^-xcos nxdx) =-n∫₀^2πcos nxd(e^-x) =-n(e^-xcos nx｜₀^2π+n∫₀^2πe^-xsin nxdx) =-n(e^-2π-1)-n²∫₀^2πe^-xsin nxdx =-n(e^-2π-1)-n²a_n．移项，得a_n=[*]．故 [*] 两边同时积分，得∫₀^xS’₁(t)dt=∫₀^x[*]dt，即 S₁(x)-S₁(0)=ln(1+x)，S₁(0)=0，故S₁(x)=In(1+x)．令 [*]

解析

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