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设f(x)满足f’(x)+f(x)=ne-xcos nx,n为正整数,f(0)=0. 设an=∫02πf(x)dx,求级数的和.
设f(x)满足f’(x)+f(x)=ne-xcos nx,n为正整数,f(0)=0. 设an=∫02πf(x)dx,求级数的和.
admin
2022-04-27
48
问题
设f(x)满足f’(x)+f(x)=ne
-x
cos nx,n为正整数,f(0)=0.
设a
n
=∫
0
2π
f(x)dx,求级数
的和.
选项
答案
a
n
=∫
0
2π
f(x)dx=∫
0
2π
e
-x
sin nxdx=-∫
0
2π
sin nxd(e
-x
) =-(e
-x
sin nx|
0
2π
-n∫
0
2π
e
-x
cos nxdx) =-n∫
0
2π
cos nxd(e
-x
) =-n(e
-x
cos nx|
0
2π
+n∫
0
2π
e
-x
sin nxdx) =-n(e
-2π
-1)-n
2
∫
0
2π
e
-x
sin nxdx =-n(e
-2π
-1)-n
2
a
n
. 移项,得a
n
=[*].故 [*] 两边同时积分,得∫
0
x
S’
1
(t)dt=∫
0
x
[*]dt,即 S
1
(x)-S
1
(0)=ln(1+x),S
1
(0)=0, 故S
1
(x)=In(1+x).令 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1LR4777K
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考研数学三
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