设幂级势an(x一b)n(b＞0)在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数的收敛半径．

admin2019-08-06 39

问题设幂级势

a_n(x一b)ⁿ(b＞0)在x=0处收敛，在x=2b处发散，求幂级数

的收敛半径R与收敛域，并分别求幂级数

的收敛半径．

选项

答案令t=x一b，收敛中心x₀=b的幂级数[*]化为收敛中心t₀=0的幂级数[*]根据阿贝尔定理可以得到如下结论：因为[*]在x=0处收敛，所以[*]在t=一b处收敛，从而当|t|＜|-b|=b时，幂级数[*]绝对收敛．由于[*]在x=2b处发散，故[*]在t=b处发散，进而当|t|＞b时，幂级数[*]发散．由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知[*]的收敛半径R=b，其收敛域为[一b，b)．注意到幂级数[*]分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是R=b．

解析

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考研数学三

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