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设幂级势an(x一b)n(b>0)在x=0处收敛,在x=2b处发散,求幂级数的收敛半径R与收敛域,并分别求幂级数的收敛半径.
设幂级势an(x一b)n(b>0)在x=0处收敛,在x=2b处发散,求幂级数的收敛半径R与收敛域,并分别求幂级数的收敛半径.
admin
2019-08-06
60
问题
设幂级势
a
n
(x一b)
n
(b>0)在x=0处收敛,在x=2b处发散,求幂级数
的收敛半径R与收敛域,并分别求幂级数
的收敛半径.
选项
答案
令t=x一b,收敛中心x
0
=b的幂级数[*]化为收敛中心t
0
=0的幂级数[*]根据阿贝尔定理可以得到如下结论: 因为[*]在x=0处收敛,所以[*]在t=一b处收敛,从而当|t|<|-b|=b时,幂级数[*]绝对收敛. 由于[*]在x=2b处发散,故[*]在t=b处发散,进而当|t|>b时,幂级数[*]发散. 由上述两方面,根据幂级数收敛半径的定义即知[*]的收敛半径R=b,其收敛域为[一b,b). 注意到幂级数[*]分别经逐项求导和逐项积分所得,根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质,即知它们的收敛半径都是R=b.
解析
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考研数学三
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