已知矩阵A与B相似，其中A=．求a，b的值及矩阵P，使P-1AP=B．

admin2016-10-20 84

问题已知矩阵A与B相似，其中A=

．求a，b的值及矩阵P，使P^-1AP=B．

选项

答案由A～B，知[*]a=7，b=-2．从矩阵A的特征多项式｜λE-A｜=[*]=λ²-4λ-5，得到A的特征值是λ₁=5，λ₂=-1．它亦是B的特征值．解齐次线性方程组(5E-A)x=0，(-E-A)x=0可得到矩阵A的属于λ₁=5，λ₂=-1的特征向量α₁=(1，1)^T与α₂=(-2，1)^T．解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0得到B的特征向量分别是β₁=(-7，1)^T，β₂=(-1，1)^T．那么，令P₁=[*] 即P₂P₁^-1AP₁P₂^-1=B．可见，取P=P₁P₂^-1=[*]，就有P^-1AP=B．

解析由｜A｜=λ₁λ₂=-5＜0，知A～A，因而可求可逆矩阵P₁和P₂，使P₁^-1AP₁=P₂^-1BP₂=A，那么P=P₁P₂^-1．

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