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  3. 已知矩阵A与B相似，其中A=．求a，b的值及矩阵P，使P-1AP=B．

已知矩阵A与B相似，其中A=．求a，b的值及矩阵P，使P-1AP=B．

admin2016-10-20  77
问题 已知矩阵A与B相似，其中A=．求a，b的值及矩阵P，使P-1AP=B．
选项
答案由A～B，知[*]a=7，b=-2． 从矩阵A的特征多项式｜λE-A｜=[*]=λ2-4λ-5，得到A的特征值是λ1=5，λ2=-1．它亦是B的特征值． 解齐次线性方程组(5E-A)x=0，(-E-A)x=0可得到矩阵A的属于λ1=5，λ2=-1的特征向量α1=(1，1)T与α2=(-2，1)T． 解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0得到B的特征向量分别是β1=(-7，1)T，β2=(-1，1)T． 那么，令P1=[*] 即P2P1-1AP1P2-1=B．可见，取P=P1P2-1=[*]，就有P-1AP=B．
解析 由｜A｜=λ1λ2=-5＜0，知A～A，因而可求可逆矩阵P1和P2，使P1-1AP1=P2-1BP2=A，那么P=P1P2-1．
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考研数学三

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