求幂级数的收敛域与和函数。

admin2019-11-04 43

问题求幂级数

的收敛域与和函数。

选项

答案[*]故该级数的收敛半径为r＝1，收敛区间为(－1，1)，x＝±1 时，该级数变为常数项级数 [*] 显然[*]发散，[*]条件收敛，故[*]发散，则收敛域为(－1，1)。 [*] 记S₁(x)＝[*]则 [*] 记S₂(x)＝[*]则 [*] 逐项求导可得， [*] 故 [*] 令x=0，可得C＝0，故S₂(x)＝[*]x≠0；x＝0时，S₂(0)＝0。故 [*] 故原级数的和函数为 [*]

解析如果

则收敛半径为

。求幂级数的和函数可以通过逐项求导或逐项积分变为常见的幂级数，再对和函数求积分或求导，这两种运算的收敛半径和原级数是一样的。

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