已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．

admin2018-08-22 83

问题已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．

选项

答案设该旋转体的半径为x，高为y，则x+y=p．该圆柱体体积V=πyx²．方法一化成一元函数极值问题． V=πyx²=π(p一x)x²=πpx²一πx³，0＜x＜p． V’=2πpx一3πx²， V"=2πp一6πx．令V’=0，得[*] 所以当半径[*]时，体积V为极大值，且是唯一驻点，故当[*]时V最大．方法二用拉格朗日乘数法，令F(x，y，λ)=πyx²+λ(x+y一p)，由 [*]有2πxy+λ=0，πx²+λ=0，x+y一p=0．容易解得唯一解[*]由于存在最大值，故当半径为[*]高为[*]时，该旋转体体积最大．

解析

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考研数学二

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已知矩形的周长为2p，将它绕其中一边旋转一周而构成一旋转体(圆柱体)，求该圆柱体体积最大时的半径与高．

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