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  3. 设f(x)在（－∞，+∞）内连续，以T为周期，证明： ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数）。

设f(x)在（－∞，+∞）内连续，以T为周期，证明： ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数）。

admin2021-07-15  47
问题 设f(x)在（－∞，+∞）内连续，以T为周期，证明：
∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数）。
选项
答案方法一 [*]∫aa+Tf(x)dx=f(a+T)－f(a)=0 由上式可得 ∫aa+Tf(x)dx=∫aa+Tf(x)dx｜a=0=∫0Tf(x)dx 方法二 ∫aa+Tf(x)dx=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫TT+af(x)dx 其中∫aT+af(x)dx=∫TT+af(x－T）dx[*]∫0af(s)ds=∫0af(x)dx 代入上式得 ∫aa+Tf(x)dx=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫0af(x)dx=∫0Tf(x)dx
解析 注意：
方法二不必假定f(x)连续，只需假定f(x)在[0,T]上可积。

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考研数学二

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