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设f(x)在（－∞，+∞）内连续，以T为周期，证明： ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数）。
设f(x)在（－∞，+∞）内连续，以T为周期，证明： ∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数）。
admin
2021-07-15
68
问题
设f(x)在（－∞，+∞）内连续，以T为周期，证明：
∫
a
a+T
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx(a为任意实数）。
选项
答案
方法一 [*]∫
a
a+T
f(x)dx=f(a+T)－f(a)=0 由上式可得 ∫
a
a+T
f(x)dx=∫
a
a+T
f(x)dx｜
a=0
=∫
0
T
f(x)dx 方法二 ∫
a
a+T
f(x)dx=∫
a
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
T
T+a
f(x)dx 其中∫
a
T+a
f(x)dx=∫
T
T+a
f(x－T）dx[*]∫
0
a
f(s)ds=∫
0
a
f(x)dx 代入上式得 ∫
a
a+T
f(x)dx=∫
a
0
f(x)dx+∫
0
T
f(x)dx+∫
0
a
f(x)dx=∫
0
T
f(x)dx
解析
注意：
方法二不必假定f(x)连续，只需假定f(x)在[0,T]上可积。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/1hy4777K
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考研数学二
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