求r=4(1+cosθ)与θ=0，θ=π／2围成的图形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为________．

admin2023-01-04 15

问题求r=4(1+cosθ)与θ=0，θ=π／2围成的图形绕极轴旋转一周所得旋转体的体积为________．

选项

答案160π．

解析

如图4-1所示，r=4(1+cosθ)为心形线，V=∫₀⁸xy²dx．
又由于

dx=4(-sinθ-2sinθcosθ)dθ，
故
V=∫_π／2⁰π·16(1+cosθ)²sin²θ·4(-sinθ-2sinθcosθ)dθ
=64π∫₀^π／2(1+cosθ)²sin³θ(1+2cosθ)dθ=160π．

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