设曲线的方程为x=a.cost,y=asint,z=kt,其中0≤t≤2π,其线密度为ρ(x,y,z)=x2+y2+z2,则该曲线关于z轴的转动惯量Iz=______.

admin2017-10-25  30

问题 设曲线的方程为x=a.cost,y=asint,z=kt,其中0≤t≤2π,其线密度为ρ(x,y,z)=x2+y2+z2,则该曲线关于z轴的转动惯量Iz=______.

选项

答案[*]πa2(3a2+4π2k2)[*]

解析 令所设曲线为Γ,则Γ:x=acost,y=asint,z=kt(0≤t≤2π),且Γ关于z轴的转动惯量Iz
Iz=∫Γ(x2+y2).ρ(x,y,z)ds
=∫Γ(x2+y2).(x2+y2+z2).ds
=∫0a2(a2+k2t2)
=πa2(3a2+4π2k2)
故应填πa2(3a2+4π2k2)
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