设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题①(I)的解必是(II)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解；③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解； ④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解．其中，正确的是 ( )

admin2015-08-17 49

问题设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)Aⁿx=0和(Ⅱ)Aⁿ⁺¹x=0，现有命题①(I)的解必是(II)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解；③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解； ④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解．其中，正确的是 ( )

选项 A、①④
B、①②
C、②③
D、③④

答案B

解析当Aⁿx=0时，易知Aⁿ⁺¹x=A(Aⁿx)=0，故(I)的解必是(Ⅱ)的解，也即①正确，③错误．当Aⁿ⁺¹x=0时，假设Aⁿx≠0，则有x，Ax，…，Aⁿx均不为零，可以证明这种情况下X，Ax，…，Aⁿx是线性无关的．由于x，Ax，…，Aⁿx均为n维向量，而n+1个n维向量都是线性相关的，矛盾．故假设不成立，因此必有Aⁿx=0．可知(Ⅱ)的解必是(I)的解，故②正确，④错误．故选B．

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考研数学一

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设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(I)Anx=0和(Ⅱ)An+1x=0，现有命题①(I)的解必是(II)的解；②(Ⅱ)的解必是(I)的解；③(I)的解不一定是(Ⅱ)的解； ④(Ⅱ)的解不一定是(I)的解．其中，正确的是 ( )

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