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  3. 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。

admin2017-01-21  58
问题 设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证：BTAB为正定矩阵的充分必要条件是r（B）=n。
选项
答案必要性：设BTAB为正定矩阵，则由定义知，对任意的n维实列向量x≠0，有xT（BTAB）x＞0，即（Bx）TA（B）＞0。于是，Bx≠0。因此，Bx=0只有零解，故有r（B）=n。 充分性：因（BTAB）T=BTAT（BT）T=BTAB，故BTAB为实对称矩阵。 若r（B）=n，则线性方程组Bx=0只有零解，从而对任意的n维实列向量x≠0，有Bx≠0。 又A为正定矩阵，所以对于Bx≠0，有（Bx）TA（Bx）＞0。于是当x≠0，有xT（BTAB）x=（Bx）TA（Bx）＞0，故BTAB为正定矩阵。
解析
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考研数学三

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