设函数f(x,y)在(2,一2)处可微,满足 f(sin(xy)+2cosx,xy一2cosy)=1+x2+y2+o(x2+y2), 这里o(x2+y2)表示比x2+y2高阶的无穷小(x,y)→(0,0)时),试求曲面z=f(x,y)在点(2,一2

admin2017-12-18  35

问题 设函数f(x,y)在(2,一2)处可微,满足
    f(sin(xy)+2cosx,xy一2cosy)=1+x2+y2+o(x2+y2),
这里o(x2+y2)表示比x2+y2高阶的无穷小(x,y)→(0,0)时),试求曲面z=f(x,y)在点(2,一2,f(2,一2))处的切平面.

选项

答案因为f(x,y)在(2,一2)处可微,所以f(x,y)在(2,一2)处连续, 取(x,y)=(0,0)得f(2,一2)=1, 因为f(x,y)在(2,一2)处可微,所以f(x,y)在(2,一2)处可偏导. 令y=0得f(2cosx,一2)=1+x2+o(x2), [*] 令x=0得f(2,-2cosy)=1+y2+o(y2), [*] 故曲面∑:z=f(z,y)在点(2,一2,1)处的法向量为n={1,一1,1},t切平面方程为π:(x一2)一(y+2)+(z一1)=0,即π:x一y+z—5=0.

解析
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