2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．

设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．

admin2017-05-31  46
问题 设f(x)在[0，1]上连续，且满足∫01f(x)dx=0，∫01xf(x)dx=0，求证：f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．
选项
答案令F(x)=∫0xf(t)dt，G(x)=∫0xF(s)ds，显然G(x)在[0，1]可导，G(0)=0，又 G(1)=∫01F(s)ds[*]sF(s)｜01－∫01sdF(s)=F(1)－∫01sf(s)ds=0－0=0， 对G(x)在[0，1]上用罗尔定理知，[*]c∈(0，1)使得G’(c)=F(c)=0． 现由F(x)在[0，1]可导，F(0)=F(c)=F(1)=0，分别在[0，c]，[c，1]对F(x)用罗尔定理知，[*]ξ1∈(0，c)，ξ2∈(c，1)，使得F’(ξ1)=f(ξ1)=0，F’(ξ2)=f(ξ2)=0，即f(x)在(0，1)内至少存在两个零点．
解析
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考研数学二

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