A为n(n≥3)阶非零实矩阵，Aij为|A|中元素aij的代数余子式，试证明： aij=一AijATA=E且|A|=一1．

admin2019-01-13 67

问题 A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A_ij为|A|中元素a_ij的代数余子式，试证明：
a_ij=一A_ij

A^TA=E且|A|=一1．

选项

答案当a_ij=一A_ij时，有A^T=一A^*，则A^TA=一A^*A=一|A|E．由于A为n阶非零实矩阵，即a_ij不全为0，所以[*]在A^TA=一|A|E两边取行列式得|A|=一1．反之，若A^TA=E且|A|=一1，由于A^*A=|A|E=一E，于是A^TA=一A^*A．进一步，由于A可逆，得A^T=一A^*，即a_ij=一A_ij．

解析

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