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(2003年)有一平底容器,其内侧壁是由曲线χ=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm3/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体
(2003年)有一平底容器,其内侧壁是由曲线χ=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm3/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体
admin
2016-05-30
95
问题
(2003年)有一平底容器,其内侧壁是由曲线χ=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图),容器的底面圆的半径为2m.根据设计要求,当以3m
3
/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm
3
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)
(1)根据t时刻液面的面积,写出t与φ(y)之间的关系式;
(2)求曲线χ=φ(y)的方程.
选项
答案
(1)设t时刻液面高度为y,则由题设知此时液面面积为 πφ
2
(y)=4π+πt 从而t=φ
2
(y)-4 (2)液面高度为y时,液体的体积为 π∫
0
y
φ
2
(u)du=3t=3φ
2
(y)-12 上式两边对y求导得 πφ
2
(y)=6φ(y)φ′(y) 解此方程得φ(y)=C[*]y 由φ(0)=2知C=2. 故所求曲线方程为χ=2[*]y
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Azt4777K
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考研数学二
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