2. 考研
  3. (2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体

(2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体

admin2016-05-30  85
问题 (2003年)有一平底容器，其内侧壁是由曲线χ＝φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm3／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)
    (1)根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；
    (2)求曲线χ＝φ(y)的方程．
选项
答案(1)设t时刻液面高度为y，则由题设知此时液面面积为 πφ2(y)＝4π＋πt 从而t＝φ2(y)－4 (2)液面高度为y时，液体的体积为 π∫0yφ2(u)du＝3t＝3φ2(y)－12 上式两边对y求导得 πφ2(y)＝6φ(y)φ′(y) 解此方程得φ(y)＝C[*]y 由φ(0)＝2知C＝2． 故所求曲线方程为χ＝2[*]y
解析
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考研数学二

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