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已知函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加,证明:
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加,证明:
admin
2021-07-08
46
问题
已知函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加,证明:
选项
答案
原不等式等价于 (n+1)∫
a
b
(b—x)
π
f(x)dx≤(b—a)
π
∫
a
b
f(x)dx, 令 [*] 得 F’(x)=—n(b—x)
n-1
∫
x
b
f(t)dt—(b—x)
n
f(x)+(n+1)(b—x)
n
f(x) =—n(b—x)
n-1
∫
x
b
f(t)dt+n(b—x)
n
f(x). 又存在ε∈(x,b),使∫
x
b
f(t)dt=f(ε)(b—x),故 F’(x)=—n(b—x)
n
f(ε)+n(b—x)
n
f(x) =n(b—x)
n
[f(x)—f(ε)]≤0, 所以F(x)在[a,b]上单调减少,于是 F(a)=(b—a)
n
∫
a
b
f(t)dt—(n+1)∫
a
b
(b—t)
n
f(t)dt =(b—a)
n
∫
a
b
f(x)dx—(n+1)∫
a
b
(b—x)
n
f(x)dx ≥F(b)=0. 证毕.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/21y4777K
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考研数学二
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