2. 考研
  3. 已知函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加,证明：

已知函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加,证明：

admin2021-07-08  47
问题 已知函数f(x)在区间[a,b]上连续且单调增加,证明：
选项
答案原不等式等价于 (n+1)∫ab(b—x)πf(x)dx≤(b—a)π∫abf(x)dx, 令 [*] 得 F’(x)=—n(b—x)n-1∫xbf(t)dt—(b—x)nf(x)+(n+1)(b—x)nf(x) =—n(b—x)n-1∫xbf(t)dt+n(b—x)nf(x). 又存在ε∈(x,b),使∫xbf(t)dt=f(ε)(b—x),故 F’(x)=—n(b—x)nf(ε)+n(b—x)nf(x) =n(b—x)n[f(x)—f(ε)]≤0, 所以F(x)在[a,b]上单调减少,于是 F(a)=(b—a)n∫abf(t)dt—(n+1)∫ab(b—t)nf(t)dt =(b—a)n∫abf(x)dx—(n+1)∫ab(b—x)nf(x)dx ≥F(b)=0. 证毕.
解析
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考研数学二

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