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设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明:
设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明:
admin
2017-04-19
43
问题
设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,证明:
选项
答案
当r(A)=n时,|A|≠0,|A*|=|A|
n-1
≠0,即知r(A*)=n当r(A)=n一1时,A中非零子式的最高阶数为n一1,一方面有A*≠0,r(A*)≥1,另一方面有|A|=0,A*A=|A|E=0.故A的每一列都是方程组A*x=0的解向量,r(A)=n一1说明A*x=0至少有n一1个线性无关解向量,故n一r(A*)≥n一1,r(A*)≤1,以上两方面说明r(A*)=1;当r(A)<n一1时,A中每个n一1阶子式—一即A的每个元素的余子式都为零,A*=0,从而有r(A*)=0
解析
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考研数学一
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