设f(x+1)[1一f(x)]=1+f(x),且f(1)=2,则f(99)= ( )

admin2019-03-11  10

问题 设f(x+1)[1一f(x)]=1+f(x),且f(1)=2,则f(99)=    (    )

选项 A、2
B、
C、一2
D、

答案D

解析 由条件f(x+1)[1一f(x)]=1+f(x)知f(x)≠1.因若不然,由f(x)=1推知f(x)=一1,矛盾.于是由所给条件推知

这里f(x一1)≠0.因为若有某x0使f(x0一1)=0,则由原给条件有
    f(x0)[1一f(x0一1)]=1+f(x0一1),
得f(x0)=1.与已证f(x)≠1矛盾.由(*)易知
    f(x+4)=f(x),
即f(x)周期为4,所以f(99)=f(3)=
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