2. 考研
  3. 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1．证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f”(η)+f’(η)=1．

设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1．证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1； (Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f”(η)+f’(η)=1．

admin2022-09-22  46
问题 设奇函数f(x)在[-1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1．证明：
    (I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=1；
    (Ⅱ)存在η∈(-1，1)，使得f”(η)+f’(η)=1．
选项
答案(I)由于f(x)在[-1，1]上为奇函数，可知f(0)=0． 令F(x)=f(x)-x，可知F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)上可导． 又F’(x)=f’(x)-1，F(1)=f(1)-1=0，F(0)=f(0)-0=0， 由罗尔定理可知，存在ξ∈(0，1)，使得F’(ξ)=0，即f’(ξ)=1． (Ⅱ)利用逆推法求证．考虑到 f”(x)+f’(x)=1[*]ex[f”(x)+f’(x)]=ex[*][exf’(x)]’=ex[*][exf’(x)-ex]’=0． 不妨设g(x)=exf’(x)-ex，则g’(x)=exf’(x)+exf”(x)-ex． 由于f(x)是奇函数，所以f’(x)是偶函数．由(I)的结论知f’(ξ)=f’(-ξ)=1． 因此g(ξ)=g(-ξ)=0．由罗尔定理可知，存在η∈(-ξ，ξ)[*](-1，1)，使得 g’(η)=0． 从而可得 f”(η)+f’(η)=1．
解析
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考研数学二

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