2. 考研
  3. 已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．

已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．

admin2021-01-19  80
问题 已知函数f(x)在(一∞，+∞)上连续，且f(x)=(x+1)2+2∫0xf(t) dt，则当n≥2时，f(n)(0)=________．
选项
答案5．2n一1．
解析 等式f(x)=(x+1)2+2∫0xf (t)dt两边对x求导得
f’(x)=2(x+1)+2f(x)，f’(0)=2+2f(0)=4
f"(x)=2+2f’(x)，f"(0)=2+2f’(0)=10
f"’(x)=2f"(x)
f(n)(x)=2f(n一1)(x)=22f(n一2)(x)=…=2n一2f"(x)  (n＞2)
f(n)(0)=2n一22f"(0)  (n＞2)
= 2n一2．10=2n一1．5.
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考研数学二

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