已知 a1=[1,3,5,一1]T, a2=[2,7,a,4]T, a3=[5,17,一1,7]T. (Ⅰ)若a1,a2,a3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与a1,a2,a3都正交的非零向量a4;

admin2020-03-15  44

问题 已知
    a1=[1,3,5,一1]T,    a2=[2,7,a,4]T,    a3=[5,17,一1,7]T
     (Ⅰ)若a1,a2,a3线性相关,求a的值;
     (Ⅱ)当a=3时,求与a1,a2,a3都正交的非零向量a4
     (Ⅲ)当a=3时,证明a1,a2,a3,a4可表示任一个四维列向量.

选项

答案(Ⅰ)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之; (Ⅱ)按齐次线性方程组求解的方法求之. (Ⅲ)归结证明对任意四维向量α,方程组x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α总有解. 解 (Ⅰ)由α1,α2,α3线性相关,得秩(α1,α2,α3)<3.由于 [*] 所以a=一3. (Ⅱ)设α4=[x1,x2,x3,x4]T,则有 <α1,α4>=0, <α2,α4>=0, <α3,α4>=0, 即 [*] 而 [*] 所以 X=[x1,x2,x3,x4]T4=k[19,一6,0,1], 其中k≠0为任意常数. (Ⅲ)由于[*] 所以x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=α恒有解,即任一四维列向量必可由α1,α2,α3,α4线性表出. 或由(Ⅰ)知α=3时,α1,α2,α3必线性无关,那么如果 k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0, 用α4T左乘上式两端并利用 α4Tα14Tα24Tα3=0, 有k4α4Tα4=0,故必有k4=0.于是 k1α1+k2α2+k3α3=0, 从而α1,α2,α3,α4必线性无关.而5个四维向量必线性相关,因此任一个四维列向量都可由α1,α2,α3,α4线性表出.

解析
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