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已知 a1=[1,3,5,一1]T, a2=[2,7,a,4]T, a3=[5,17,一1,7]T. (Ⅰ)若a1,a2,a3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与a1,a2,a3都正交的非零向量a4;
已知 a1=[1,3,5,一1]T, a2=[2,7,a,4]T, a3=[5,17,一1,7]T. (Ⅰ)若a1,a2,a3线性相关,求a的值; (Ⅱ)当a=3时,求与a1,a2,a3都正交的非零向量a4;
admin
2020-03-15
103
问题
已知
a
1
=[1,3,5,一1]
T
, a
2
=[2,7,a,4]
T
, a
3
=[5,17,一1,7]
T
.
(Ⅰ)若a
1
,a
2
,a
3
线性相关,求a的值;
(Ⅱ)当a=3时,求与a
1
,a
2
,a
3
都正交的非零向量a
4
;
(Ⅲ)当a=3时,证明a
1
,a
2
,a
3
,a
4
可表示任一个四维列向量.
选项
答案
(Ⅰ)利用向量组线性相关、线性无关的定义求之; (Ⅱ)按齐次线性方程组求解的方法求之. (Ⅲ)归结证明对任意四维向量α,方程组x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α总有解. 解 (Ⅰ)由α
1
,α
2
,α
3
线性相关,得秩(α
1
,α
2
,α
3
)<3.由于 [*] 所以a=一3. (Ⅱ)设α
4
=[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
]
T
,则有 <α
1
,α
4
>=0, <α
2
,α
4
>=0, <α
3
,α
4
>=0, 即 [*] 而 [*] 所以 X=[x
1
,x
2
,x
3
,x
4
]
T
=α
4
=k[19,一6,0,1], 其中k≠0为任意常数. (Ⅲ)由于[*] 所以x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α恒有解,即任一四维列向量必可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出. 或由(Ⅰ)知α=3时,α
1
,α
2
,α
3
必线性无关,那么如果 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
+k
4
α
4
=0, 用α
4
T
左乘上式两端并利用 α
4
T
α
1
=α
4
T
α
2
=α
4
T
α
3
=0, 有k
4
α
4
T
α
4
=0,故必有k
4
=0.于是 k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0, 从而α
1
,α
2
,α
3
,α
4
必线性无关.而5个四维向量必线性相关,因此任一个四维列向量都可由α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性表出.
解析
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考研数学二
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