给出满足下列条件的微分方程: (Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x; (Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解 y1=cos2x一xsin2x.

admin2017-10-23  45

问题 给出满足下列条件的微分方程:
    (Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x
    (Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解
    y1=cos2x一xsin2x.

选项

答案(1)通解变形为exy=C1+C2x+x—1,求导得 e2(y’+y)=C2一x—2, 再求导得方程ex(y"+2y’+y)=[*]e—x. (Ⅱ)由题设,根据方程解的结构知,方程的通解为 y=C1cos2x+C2Sin2x一[*]xsin2x, 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i,且一[*]xsin2x为其特解.进而知原方程为 y"+4y=f(x). [*] 因此,所求方程为y"+4y=一cos2x.

解析 由已知解求原方程,首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征.从本题题设观察,所求方程均为二阶常系数线性微分方程.在此基础上,或者直接对通解二次求导消去两个任意常数,从而得到方程;或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程.
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