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给出满足下列条件的微分方程: (Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x; (Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解 y1=cos2x一xsin2x.
给出满足下列条件的微分方程: (Ⅰ)方程有通解y=(C1+C2x+x—1)e—x; (Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解 y1=cos2x一xsin2x.
admin
2017-10-23
42
问题
给出满足下列条件的微分方程:
(Ⅰ)方程有通解y=(C
1
+C
2
x+x
—1
)e
—x
;
(Ⅱ)方程为二阶常系数非齐次线性方程,并有两个特解
y
1
=cos2x一
xsin2x.
选项
答案
(1)通解变形为e
x
y=C
1
+C
2
x+x
—1
,求导得 e
2
(y’+y)=C
2
一x
—2
, 再求导得方程e
x
(y"+2y’+y)=[*]e
—x
. (Ⅱ)由题设,根据方程解的结构知,方程的通解为 y=C
1
cos2x+C
2
Sin2x一[*]xsin2x, 从而知原方程的特征方程有两个共轭复根±2i,且一[*]xsin2x为其特解.进而知原方程为 y"+4y=f(x). [*] 因此,所求方程为y"+4y=一cos2x.
解析
由已知解求原方程,首先要从解的结构确定所求方程的基本类型和特征.从本题题设观察,所求方程均为二阶常系数线性微分方程.在此基础上,或者直接对通解二次求导消去两个任意常数,从而得到方程;或者利用解的结构和性质与方程解的关系推导出方程.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2EX4777K
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考研数学三
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