设A是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维列向量且α1≠0，Aα1=kα1，Aα2=α1+kα2，Aα3=α2十kα3，则( )

admin2022-04-27 77

问题设A是3阶矩阵，α₁，α₂，α₃是3维列向量且α₁≠0，Aα₁=kα₁，Aα₂=α₁+kα₂，Aα₃=α₂十kα₃，则( )

选项 A、α₁，α₂，α₃线性相关．
B、α₁，α₂，α₃线性无关．
C、Aα₁，Aα₂，Aα₃线性相关．
D、Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关．

答案B

解析设
k₁α₁+k₂α₂+k₃α₃=0， ①
①式两边同时左乘(A-kE)，得
k₁(A-kE)α₁+k₂(A-kE)α₂+k₃(A-kE)α₃=0，
即
k₂α₁+k₃α₂=0． ②
②式两边同时再左乘(A-kE)，得k₃α₁=0．由α₁≠0，得k₃=0．代入②式和①式，可
得k₂=k₁=0，故α₁，α₂，α₃线性无关．
由
A(α₁，α₂，α₃)=(kα₁，α₁+kα₂，α₂+kα₃)
=(α₁，α₂，α₃)

且

=k³，可知当k≠0时，Aα₁，Aα₂，Aα₃线性无关；当k=0时，Aα₁，Aα₂，Aα₃线性相关．故B正确．

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考研数学三

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