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设f(x),g(x)均为[0,T]上的连续可微函数,且f(0)=0,证明: (Ⅰ)∫0Tf(x)g(x)dx=∫0Tf’(t)[∫tTg(x)dx]dx; (Ⅱ)∫0Tf(c)dt=∫0Tf’(t)(T一t)dt.
设f(x),g(x)均为[0,T]上的连续可微函数,且f(0)=0,证明: (Ⅰ)∫0Tf(x)g(x)dx=∫0Tf’(t)[∫tTg(x)dx]dx; (Ⅱ)∫0Tf(c)dt=∫0Tf’(t)(T一t)dt.
admin
2019-08-06
60
问题
设f(x),g(x)均为[0,T]上的连续可微函数,且f(0)=0,证明:
(Ⅰ)∫
0
T
f(x)g(x)dx=∫
0
T
f’(t)[∫
t
T
g(x)dx]dx;
(Ⅱ)∫
0
T
f(c)dt=∫
0
T
f’(t)(T一t)dt.
选项
答案
(Ⅰ)由于g(x)连续,所以∫
T
t
g(x)dx关于t可导,则利用凑微分及分部积分法有 ∫
0
T
f(x)g(x)dx=∫
0
T
f(x)d[∫
t
x
g(t)dt]=f(x)∫
T
x
g(t)dt|
0
T
一∫
0
T
[∫
T
x
g(t)dt]f’(x)dx. 由f(0)=0知,上述第二个等号后的第一项为零,于是 ∫
0
T
f(x)g(x)dx=一∫
0
T
f’(x)[∫
T
x
g(t)dt]dx=∫
0
T
f’(t)[∫
t
T
g(x)dx]dt. (Ⅱ)因f(0)=0,由分部积分法有 ∫
0
T
f(t)dt=∫
0
T
f(t)d(t一T)=f(t)(t一T)|
0
T
一∫
0
T
(t一T)f’(t)dt =∫
0
T
f’(t)(T—t)dt.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/BrJ4777K
0
考研数学三
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