设f(x)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的x,y∈[a,b],有 |f(x)-f(y)|≤M|x-y|k. (1)证明:当k>0时,f(x)在[a,b]上连续; (2)证明:当k>1时,f(x)≡常数.

admin2019-09-04  35

问题 设f(x)在[a,b]上有定义,M>0且对任意的x,y∈[a,b],有
    |f(x)-f(y)|≤M|x-y|k.
    (1)证明:当k>0时,f(x)在[a,b]上连续;
    (2)证明:当k>1时,f(x)≡常数.

选项

答案(1)对任意的x0∈[a,b],由已知条件得 0≤|f(x)-f(x0)|≤M|x-x0k,[*]f(x)=f(x0), 再由x0的任意性得f(x)在[a,b]上连续. (2)对任意的x0∈[a,b],因为k>1, 所以0≤[*]≤M|x-x0k-1,由夹逼定理得f’(x0)=0,因为x0是任意一点,所以f’(x)≡0,故f(x)≡常数.

解析
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