设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有｜f(x)-f(y)｜≤M｜x-y｜k. (1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续； (2)证明：当k＞1时，f(x)≡常数．

admin2019-09-04 46

问题设f(x)在[a，b]上有定义，M＞0且对任意的x，y∈[a，b]，有
｜f(x)-f(y)｜≤M｜x-y｜^k.
(1)证明：当k＞0时，f(x)在[a，b]上连续；
(2)证明：当k＞1时，f(x)≡常数．

选项

答案(1)对任意的x₀∈[a，b]，由已知条件得 0≤｜f(x)-f(x₀)｜≤M｜x-x₀｜^k，[*]f(x)=f(x₀)，再由x₀的任意性得f(x)在[a，b]上连续． (2)对任意的x₀∈[a，b]，因为k＞1，所以0≤[*]≤M｜x-x₀｜^k-1，由夹逼定理得f’(x₀)=0，因为x₀是任意一点，所以f’(x)≡0，故f(x)≡常数．

解析

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考研数学三

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