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设f(x)在[1,+∞)可导,[xf(x)]≤-kf(x)(x>1),在(1,+∞)的子区间上不恒等,又f(1)≤M,其中后k,M为常数,求证:f(x)<(x>1).
设f(x)在[1,+∞)可导,[xf(x)]≤-kf(x)(x>1),在(1,+∞)的子区间上不恒等,又f(1)≤M,其中后k,M为常数,求证:f(x)<(x>1).
admin
2016-10-26
55
问题
设f(x)在[1,+∞)可导,
[xf(x)]≤-kf(x)(x>1),在(1,+∞)的
子区间上不恒等,又f(1)≤M,其中后k,M为常数,求证:f(x)<
(x>1).
选项
答案
已知xf′(x)+(k+1)f(x)≤0(x>1),在(1,+∞)[*]子区间上不恒为零,要证f(x)x
k+1
<M(x>1).令F(x)=f(x)x
k+1
[*]F′(x)=x
k+1
f′(x)+(k+1)x
k
f(x)=x
k
[xf′(x)+(k+1)f(x)]≤0(x>1),在(1,+∞)[*]子区间上不恒为零,又F(x)在[1,+∞)连续[*]F(x)在[1,+∞)单调下降[*]F(x)<F(1)=f(1)≤M (x>1).
解析
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考研数学一
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