2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(b)－2f()＋f(a)＝f”(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(b)－2f()＋f(a)＝f”(ξ)．

admin2019-11-25  59
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得 f(b)－2f()＋f(a)＝f”(ξ)．
选项
答案因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有f(a)＝f([*])＋f’([*])(a－[*])＋[*](a－[*])2， f(b)＝f([*])＋f’([*])(b－[*])＋[*](b－[*])2， 其中ξ1∈(a，[*])，ξ2∈([*]，b)． 两式相加得f(a)＋f(b)－2f([*])＝[*][f”(ξ1)＋f”(ξ2)]． 因为f”(x)在(a，b)内连续，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上连续，从而f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到 最小值m和最大值M，故m≤[*]≤M， 由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2][*](a，b)，使得[*]＝f”(ξ)， 故f(a)＋f(b)－2f([*])＝[*][f”(ξ1)＋f”(ξ1)]＝[*]f”(ξ)．
解析
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考研数学三

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