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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-2f()+f(a)=f”(ξ).
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-2f()+f(a)=f”(ξ).
admin
2019-11-25
53
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶连续可导.证明:存在ξ∈(a,b),使得 f(b)-2f(
)+f(a)=
f”(ξ).
选项
答案
因为f(x)在(a,b)内二阶可导,所以有f(a)=f([*])+f’([*])(a-[*])+[*](a-[*])
2
, f(b)=f([*])+f’([*])(b-[*])+[*](b-[*])
2
, 其中ξ
1
∈(a,[*]),ξ
2
∈([*],b). 两式相加得f(a)+f(b)-2f([*])=[*][f”(ξ
1
)+f”(ξ
2
)]. 因为f”(x)在(a,b)内连续,所以f”(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上连续,从而f”(x)在[ξ
1
,ξ
2
]上取到 最小值m和最大值M,故m≤[*]≤M, 由介值定理,存在ξ∈[ξ
1
,ξ
2
][*](a,b),使得[*]=f”(ξ), 故f(a)+f(b)-2f([*])=[*][f”(ξ
1
)+f”(ξ
1
)]=[*]f”(ξ).
解析
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考研数学三
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