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  3. 设n维向量αs可由α1，α2，…，αs-1唯一线性表示，其表出式为 αs=α1+2α2+3α3+…+(s一1)αs-1 (1)证明齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αi-1xi-1+αi+1xi+1+…+αsxs=0 (

设n维向量αs可由α1，α2，…，αs-1唯一线性表示，其表出式为 αs=α1+2α2+3α3+…+(s一1)αs-1 (1)证明齐次线性方程组 α1x1+α2x2+…+αi-1xi-1+αi+1xi+1+…+αsxs=0 (

admin2018-09-20  62
问题 设n维向量αs可由α1，α2，…，αs-1唯一线性表示，其表出式为
    αs=α1+2α2+3α3+…+(s一1)αs-1
    (1)证明齐次线性方程组
    α1x1+α2x2+…+αi-1xi-1+αi+1xi+1+…+αsxs=0    (*)
只有零解(i=1，2，…，s)；
    (2)求线性非齐次方程组
    α1x1+α2x2+…+αsxs=α1+2α2+…+sαs    (**)
的通解．
选项
答案(1)齐次线性方程组α1x1+α2x2+…+αi-1xi-1+αi+1xi+1+…+αsxs=0只 有零解[*]r(α1，α2，…，αi-1,αi+1，…，αs)=s—1(未知量个数)[*]α1，α2，…，αi-1，αi+1，…，αs线性无关． 设有数k1，k2，…，ki-1，ki+1，…，ks，使得 k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ksαs=0． 将题设条件αs=α1+2α2+…+(s一1)αs-1代入上式，得 k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1+ki+1αi+1+…+ks-1αs-1+ks[α1+2α2+…+(s—1)αs-1]=0， 即 (k1+ks)α1+(k2+2ks)α2+…+[ki-1+(i一1)ks]αi-1+iksαi+ [ki+1+(i+1)ks]αi+1+…+[ks-1+(s-1)ks]αs-1=0． 由条件知,α1，α2，…，αs-1线性无关，故有 [*] 因i≠0，由iks=0，得ks=0，从而有k1=k2=…=ki-1=ki+1=…=ks-1=0． 所以α1，α2，…，αi-1，αi+1，…，αs线性无关，于是方程组(*)只有零解． (2)因α1，α2，…，αs-1线性无关，αs=α1+2α2+3α3+…+(s—1)αs-1，有 r(α1，α2，…，αs-1)=s一1=r(α1，α2，…，αs，(α1+2α2+…+sαs))． 故方程组(**)有通解kξ+η，其中 ξ=[1，2，…，(s-1)，一1]T，η=[1，2，…，s]T，k是任意常数．
解析
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考研数学三

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