2. 考研
  3. (1)设f(x)=ex一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)． (2)设f(x)在(一1，+∞)内连续且f(x)一∫0xtf(f)dt=1(x＞一1)，求f(x)．

(1)设f(x)=ex一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)． (2)设f(x)在(一1，+∞)内连续且f(x)一∫0xtf(f)dt=1(x＞一1)，求f(x)．

admin2018-05-23  12
问题 (1)设f(x)=ex一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
(2)设f(x)在(一1，+∞)内连续且f(x)一∫0xtf(f)dt=1(x＞一1)，求f(x)．
选项
答案(1)由f(x)=ex一∫0x(x—t)f(t)dt，得f(x)=ex—x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=ex一∫0xf(t)dt，两边再对x求导得f’’(x)+f(x)=ex，其通解为f(x)=C1cosx+C2sinx＋[*]ex． 在f(x)=ex—∫0x(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=ex—∫0xf(t)dt中，令x=0得f’(0)=1，于是有[*]ex． (2)由f(x)－[*]∫0xtf(t)dt=1得(x+1)f(x)一∫0xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)＋(x+1)f’(x)－xf(x)=1，整理得f’(x)＋[*] [*]
解析
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考研数学一

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