设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )

admin2016-03-18 30

问题设A是n阶矩阵，下列结论正确的是( )

选项 A、设r(A)=r，则A有r个非零特征值，其余特征值皆为零
B、设A为非零矩阵，则A一定有非零特征值
C、设A为对称矩阵，A²=2A，r(A)=r，则A有r个特征值为2，其余全为零
D、设A，B为对称矩阵，且A，B等价，则A，B特征值相同

答案C

解析取

，显然A的特征值为0，0，1，但r(A)=2，(A)不对；
设

，显然A为非零矩阵，但A的特征值都是零，(B)不对；
两个矩阵等价，则两个矩阵的秩相等，但特征值不一定相同，(D)不对；应选(C)
事实上，令AX=λX，由A²=2A得A的特征值为0或2，
因为A是对称矩阵，所以A一定可对角化，由r(A)=r得A的特征值中有r个2，其余全部为零

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