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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1/2)=1,f(1)=0.证明: (1)存在η∈(1/2,1),使得f(η)=η; (2)对任意的k∈(-∞,+∞),存在ξ∈(0,η),使得f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1/2)=1,f(1)=0.证明: (1)存在η∈(1/2,1),使得f(η)=η; (2)对任意的k∈(-∞,+∞),存在ξ∈(0,η),使得f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
admin
2022-08-19
41
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1/2)=1,f(1)=0.证明:
(1)存在η∈(1/2,1),使得f(η)=η;
(2)对任意的k∈(-∞,+∞),存在ξ∈(0,η),使得f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
选项
答案
(1)令φ(x)=f(x)-x,φ(x)在[0,1]上连续,φ(1/2)=1/2>0,φ(1)=-1<0, 由零点定理,存在η∈(1/2,1),使得φ(η)=0,即f(η)=η. (2)设F(x)=e
-kx
φ(x),显然F(x)在[0,η]上连续,在(0,η)内可导,且F(0)=F(η)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(0,η),使得F′(ξ)=0,整理得 f′(ξ)-k[f(ξ)-ξ]=1.
解析
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考研数学三
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