设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

admin2019-09-04  25

问题 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,证明:存在ξ∈(a,b),使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

选项

答案令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt,显然φ(x)在[a,b]上可导,又φ(a)=φ(b)=0, 由罗尔定理,存在ξ∈(a,b),使得φ’(ξ)=0,而 φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt, 所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0,即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx.

解析 由f(c)∫xbg(t)dt=g(x)∫axf(t)dt得g(x)∫axf(t)dt+f(x)∫bxg(t)dt=0即
axf(t)dt∫bxg(t)dt=0,则辅助函数为9(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt.
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