设F1，F2是双曲线C：(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若｜PF1｜+｜PF2｜=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为______．

admin2019-01-23 48

问题设F₁，F₂是双曲线C：

(a＞0，b＞0)的两个焦点，P是C上一点，若｜PF₁｜+｜PF₂｜=6a，且△PF₁F₂的最小内角为30°，则C的离心率为______．

选项

答案[*]

解析如图所示，｜PF₁｜—｜PF₂｜=2a，｜PF₁｜+｜PF₂｜=6a，解得｜PF₁｜=4a，｜PF₂｜=2a，又因为｜F₁F₂｜=2c，故可知∠PF₁F₂为△PF₁F₂的最小内角，根据余弦定理可得｜PF₂｜²=｜PF₁｜²+｜F₁F₂｜²一2｜PF₁｜·｜F₁F₂｜cos30°，即4a²=16a²+4c²一16ac cos30°，解得