证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=UTU，即A与单位阵E合同．

admin2020-11-13 69

问题证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=U^TU，即A与单位阵E合同．

选项

答案充分性([*])：若存在可逆矩阵U，使A=U^TU，则任取x∈Rⁿ，x≠O，就有U_x≠O，且 f(x)=x^TAx=x^TU^TU_x=[U_x,U_x]=‖U_x‖＞0，即矩阵A的二次型是正定的，从而可由定义知，A是正定矩阵．必要性([*])：因A是对称阵，必存在正交阵Q，使Q^TAQ=A=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)，其中，λ₁，λ₂，…，λ_n是A的n个特征值，但A为正定矩阵，故λ_i＞0，i=1，2，…，n．记对角阵A₁=diag[*]，则有 [*] 从而可得A=QAQ^T=QA₁A₁Q^T=(QA₁)(QA₁)^T，记U=(QA₁)^T，显然U可逆，并且由上式知A=U^TU．

解析

转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2Rx4777K

考研数学三

相关试题推荐

齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是__________．
设f(x)有一个原函数则
[2013年]设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算
[2005年]设其中D={(x,y)|x2+y2≤1}则()．
[2005年]以下四个命题中正确的是()．
若由曲线，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．
[2017年]设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记则下列结论不正确的是()．
已知是矩阵的一个特征向量．问A能否相似于对角矩阵?并说明理由．
厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2，需求函数分别为q1=24－0．2p1和q2=10－0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)．试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总

随机试题

"NightingalesPrize"isfor_____.
A．羟基脲B．α-干扰素C．氟达拉滨D．苯丁酸氮芥慢性淋巴细胞白血病化疗最常用的药物是
对于气单胞菌的生化反应描述，正确的是
抗原抗体反应是指抗体与相应抗原特异性结合后，在体内可以表现或介导一系列生物学效应，在体外可因抗原抗体的物理性形状不同以及参与反应的物质不同而出现各种反应现象。抗原抗体反应有多种特点。抗原抗体反应，抗体过剩称为
对正常胃黏膜像的描述，不正确的是
根据《土地调查条例实施办法》规定，《听证通知书》应当载明的事项有()。
据报道，某国科学家在一块60万年前来到地球的火星陨石上发现了有机生物的痕迹，因为该陨石由二氧化碳化合物构成，该化合物产生于甲烷，而甲烷可以是微生物受到高压和高温作用时产生的。由此可以推断火星上曾经有过生物，甚至可能有过像人一样的高级生物。以下条件除了哪项外
“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”表现的意志品质是
新文化运动促使教育观念发生哪些变化?
区位码输入法的最大优点是()。

最新回复(0)

证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=UTU，即A与单位阵E合同．

考研数学三

齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是__________．

设f(x)有一个原函数则

[2013年]设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成，计算

[2005年]设其中D={(x,y)|x2+y2≤1}则()．

[2005年]以下四个命题中正确的是()．

若由曲线，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．

[2017年]设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记则下列结论不正确的是()．

已知是矩阵的一个特征向量．问A能否相似于对角矩阵?并说明理由．

厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1和p2，销售量分别为q1和q2，需求函数分别为q1=24－0．2p1和q2=10－0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)．试问：厂家如何确定两个市场的售价，能使其获得的总利润最大?最大总

"NightingalesPrize"isfor_____.

A．羟基脲B．α-干扰素C．氟达拉滨D．苯丁酸氮芥慢性淋巴细胞白血病化疗最常用的药物是

对于气单胞菌的生化反应描述，正确的是

对正常胃黏膜像的描述，不正确的是

根据《土地调查条例实施办法》规定，《听证通知书》应当载明的事项有()。

“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”表现的意志品质是

新文化运动促使教育观念发生哪些变化?

区位码输入法的最大优点是()。