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证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆阵U,使A=UTU,即A与单位阵E合同.
admin
2020-11-13
71
问题
证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是:存在可逆阵U,使A=U
T
U,即A与单位阵E合同.
选项
答案
充分性([*]):若存在可逆矩阵U,使A=U
T
U,则任取x∈R
n
,x≠O,就有U
x
≠O,且 f(x)=x
T
Ax=x
T
U
T
U
x
=[U
x
,U
x
]=‖U
x
‖>0, 即矩阵A的二次型是正定的,从而可由定义知,A是正定矩阵. 必要性([*]):因A是对称阵,必存在正交阵Q,使Q
T
AQ=A=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
),其中,λ
1
,λ
2
,…,λ
n
是A的n个特征值,但A为正定矩阵,故λ
i
>0,i=1,2,…,n. 记对角阵A
1
=diag[*],则有 [*] 从而可得A=QAQ
T
=QA
1
A
1
Q
T
=(QA
1
)(QA
1
)
T
, 记U=(QA
1
)
T
,显然U可逆,并且由上式知A=U
T
U.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2Rx4777K
0
考研数学三
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