证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=UTU，即A与单位阵E合同．

admin2020-11-13 50

问题证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=U^TU，即A与单位阵E合同．

选项

答案充分性([*])：若存在可逆矩阵U，使A=U^TU，则任取x∈Rⁿ，x≠O，就有U_x≠O，且 f(x)=x^TAx=x^TU^TU_x=[U_x,U_x]=‖U_x‖＞0，即矩阵A的二次型是正定的，从而可由定义知，A是正定矩阵．必要性([*])：因A是对称阵，必存在正交阵Q，使Q^TAQ=A=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)，其中，λ₁，λ₂，…，λ_n是A的n个特征值，但A为正定矩阵，故λ_i＞0，i=1，2，…，n．记对角阵A₁=diag[*]，则有 [*] 从而可得A=QAQ^T=QA₁A₁Q^T=(QA₁)(QA₁)^T，记U=(QA₁)^T，显然U可逆，并且由上式知A=U^TU．

解析

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