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  3. 证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=UTU，即A与单位阵E合同．

证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=UTU，即A与单位阵E合同．

admin2020-11-13  73
问题 证明对称矩阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆阵U，使A=UTU，即A与单位阵E合同．
选项
答案充分性([*])：若存在可逆矩阵U，使A=UTU，则任取x∈Rn，x≠O，就有Ux≠O，且 f(x)=xTAx=xTUTUx=[Ux,Ux]=‖Ux‖＞0， 即矩阵A的二次型是正定的，从而可由定义知，A是正定矩阵． 必要性([*])：因A是对称阵，必存在正交阵Q，使QTAQ=A=diag(λ1，λ2，…，λn)，其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，但A为正定矩阵，故λi＞0，i=1，2，…，n． 记对角阵A1=diag[*]，则有 [*] 从而可得A=QAQT=QA1A1QT=(QA1)(QA1)T， 记U=(QA1)T，显然U可逆，并且由上式知A=UTU．
解析
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考研数学三

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