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已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出,且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ),证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出,且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ),证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
admin
2019-07-28
98
问题
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出,且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ),证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价.
选项
答案
设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r,且设组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组分别为α
1
,α
2
,…α
r
;β
1
,β
2
,…,β
r
,归结证明α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价.可用两种方法证之. 一种方法是作向量组(Ⅲ):α
1
,α
2
,…,α
r
,β
1
,β
2
,…,β
r
证明α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组,从而α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价. 另一种方法是用矩阵表示法,令(α
1
,α
2
,…,α
r
)=(β
1
,β
2
,…,β
r
)A,其中A为r阶矩阵.因α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
都线性无关,故A可逆,从而(β
1
,β
2
,…,β
r
)=(α
1
,α
2
,…,α
r
)A
-1
. 于是β
1
,β
2
,…,β
r
可由α
1
,α
2
,…,α
r
线性表出.当然,α
1
,α
2
,…,α
r
也可由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表示,所以α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价,故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价. 证一 设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r,且α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
分别为组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组.作向量组(Ⅲ):α
1
,α
2
,…,α
r
,β
1
,β
2
,…,β
r
. 下证α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组. 因组(Ⅰ)能由组(Ⅱ)线性表出,故α
1
,α
2
,…,α
r
也能由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表出,从而组(Ⅲ)能由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表出,又β
1
,β
2
,….β
r
线性无关,故β
1
,β
2
,…,β
r
为组(Ⅲ)的一个极大线性无关组,从而秩(Ⅲ)=r,所以组(Ⅲ)中的r个线性无关的向量组也是组(Ⅲ)的一个极大线性无关组,又因同一向量组中的极大线性无关组必等价,故α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价.显然组(Ⅰ)与α
1
,α
2
,…,α
r
等价,组(Ⅱ)与β
1
,β
2
,…,β
r
等价,故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)必等价(等价的传递性). 证二 因组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表示,故α
1
,α
2
,…,α
r
可由β
1
,β
2
,…,β
r
线性表示,于是存在r阶矩阵A,使 (α
1
,α
2
,…,α
r
)=(β
1
,β
2
,…,β
r
)A. 利用下述命题:设α
1
,α
2
,…,α
r
和β
1
,β
2
,…,β
r
(r≤n)都是n维向量,如果β
1
,β
2
,…,β
r
线性无关且 (α
1
,α
2
,…,α
r
)=(β
1
,β
2
,…,β
r
)A, 其中A为r阶矩阵,则α
1
,α
2
,…,α
r
线性无关的充分必要条件是A为可逆矩阵. 可知,A为可逆矩阵,且(β
1
,β
2
,…,β
r
)=(α
1
,α
2
,…,α
r
)A
—1
.则β
1
,β
2
,…,β
r
可由α
1
,α
2
,…,α
r
线性表出,由等价的定义知α
1
,α
2
,…,α
r
与β
1
,β
2
,…,β
r
等价.又组(Ⅰ)与α
1
,α
2
,…,α
r
等价,组(Ⅱ)与β
1
,β
2
,…,β
r
,等价,由等价的传递性得到组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价.
解析
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考研数学二
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