首页
外语
计算机
考研
公务员
职业资格
财经
工程
司法
医学
专升本
自考
实用职业技能
登录
考研
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
admin
2019-07-28
94
问题
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
选项
答案
设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且设组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组分别为α
1
，α
2
，…α
r
；β
1
，β
2
，…，β
r
，归结证明α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价．可用两种方法证之． 一种方法是作向量组(Ⅲ)：α
1
，α
2
，…，α
r
，β
1
，β
2
，…，β
r
证明α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组，从而α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价． 另一种方法是用矩阵表示法，令(α
1
，α
2
，…，α
r
)=(β
1
，β
2
，…，β
r
)A，其中A为r阶矩阵．因α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
都线性无关，故A可逆，从而(β
1
，β
2
，…，β
r
)=(α
1
，α
2
，…，α
r
)A
-1
． 于是β
1
，β
2
，…，β
r
可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出．当然，α
1
，α
2
，…，α
r
也可由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表示，所以α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价． 证一 设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
分别为组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组．作向量组(Ⅲ)：α
1
，α
2
，…，α
r
，β
1
，β
2
，…，β
r
． 下证α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组． 因组(Ⅰ)能由组(Ⅱ)线性表出，故α
1
，α
2
，…，α
r
也能由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表出，从而组(Ⅲ)能由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表出，又β
1
，β
2
，…．β
r
线性无关，故β
1
，β
2
，…，β
r
为组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，从而秩(Ⅲ)=r，所以组(Ⅲ)中的r个线性无关的向量组也是组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，又因同一向量组中的极大线性无关组必等价，故α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价．显然组(Ⅰ)与α
1
，α
2
，…，α
r
等价，组(Ⅱ)与β
1
，β
2
，…，β
r
等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)必等价(等价的传递性)． 证二 因组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表示，故α
1
，α
2
，…，α
r
可由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表示，于是存在r阶矩阵A，使 (α
1
，α
2
，…，α
r
)=(β
1
，β
2
，…，β
r
)A． 利用下述命题：设α
1
，α
2
，…，α
r
和β
1
，β
2
，…，β
r
(r≤n)都是n维向量，如果β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关且 (α
1
，α
2
，…，α
r
)=(β
1
，β
2
，…，β
r
)A， 其中A为r阶矩阵，则α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关的充分必要条件是A为可逆矩阵． 可知，A为可逆矩阵，且(β
1
，β
2
，…，β
r
)=(α
1
，α
2
，…，α
r
)A
—1
．则β
1
，β
2
，…，β
r
可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出，由等价的定义知α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价．又组(Ⅰ)与α
1
，α
2
，…，α
r
等价，组(Ⅱ)与β
1
，β
2
，…，β
r
，等价，由等价的传递性得到组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/2TN4777K
0
考研数学二
相关试题推荐
计算(χ2＋y2)dχdy，其中D＝{(χ，y)｜χ2＋y2≤4χ，0≤y≤χ}．
求(χ2－2y)dχdy．
证明：当0＜χ＜1时，(1＋χ)ln2(1＋χ)＜χ2．
设A为m×b矩阵，则齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充要条件是A的
3阶矩阵A的特征值全为零，则必有()
要使都是线性方程组Ax=0的解，只要系数矩阵A为()
没u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy+z-t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求
设u=u(x，y)，v=v(x，y)有连续的一阶偏导数且满足条件：F(u，v)=0，其中F有连续的偏导数且
随机试题
下列有关描述PCR技术的说法不正确的是
某县食盐供应出现暂时脱销，该县某乡镇企业供销公司乘机大量购进食盐企图以此谋利。县盐业支公司进行检查时，发现供销公司超越经营范围，非法从事食盐批发业务，即予以处罚，并对其余食盐进行限价收购，供销公司对此不服。下列有关主体的说法中，正确的是(
1/4
下列关于急性白血病完全缓解的标准，除了哪项均是正确的
本题为选作题，分甲、乙两题。请选择一题作答；答题时请务必标明甲题或乙题；甲、乙两题均作答的，仅对书写在前的进行评阅。甲题：案情：2007年10月28日全国人大常委会通过《中华人民共和国律师法》修正案，其中为解决近年来律师会见难的问题，新增加了第
【2011年第3题】题11～15：某用户根据负荷发展需要，拟在厂区内新建一座变电站，用于厂区内10kV负荷的供电。该变电站电源取自地区110kV电网(无限大电源容量)，采用2回110kV架空专用线路供电。变电站基本情况如下：(1)主变采用两台三相双卷自冷
某单位工程采用工料单价法计算工程造价，以直接费为计算基础。已知该工程直接工程费为100万元，措施费为10万元，间接费费率为8%，利润率为3%，综合计税系数为3.41%，则该工程的含税造价为(D)万元。
我国古典园林的叠山的石材主要有()。
双开(一种纪律处分)
下列算法中，属于对称加密的是______。Ⅰ．DES算法Ⅱ．RSA算法Ⅲ．RC-5算法Ⅳ．Elgamal算法
最新回复
(
0
)
