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已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
admin
2019-07-28
128
问题
已知向量组(Ⅰ)能由向量组(Ⅱ)线性表出，且秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)，证明向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)等价．
选项
答案
设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且设组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组分别为α
1
，α
2
，…α
r
；β
1
，β
2
，…，β
r
，归结证明α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价．可用两种方法证之． 一种方法是作向量组(Ⅲ)：α
1
，α
2
，…，α
r
，β
1
，β
2
，…，β
r
证明α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组，从而α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价． 另一种方法是用矩阵表示法，令(α
1
，α
2
，…，α
r
)=(β
1
，β
2
，…，β
r
)A，其中A为r阶矩阵．因α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
都线性无关，故A可逆，从而(β
1
，β
2
，…，β
r
)=(α
1
，α
2
，…，α
r
)A
-1
． 于是β
1
，β
2
，…，β
r
可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出．当然，α
1
，α
2
，…，α
r
也可由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表示，所以α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价． 证一 设秩(Ⅰ)=秩(Ⅱ)=r，且α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
分别为组(Ⅰ)和组(Ⅱ)的极大线性无关组．作向量组(Ⅲ)：α
1
，α
2
，…，α
r
，β
1
，β
2
，…，β
r
． 下证α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
均为组(Ⅲ)的极大线性无关组． 因组(Ⅰ)能由组(Ⅱ)线性表出，故α
1
，α
2
，…，α
r
也能由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表出，从而组(Ⅲ)能由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表出，又β
1
，β
2
，…．β
r
线性无关，故β
1
，β
2
，…，β
r
为组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，从而秩(Ⅲ)=r，所以组(Ⅲ)中的r个线性无关的向量组也是组(Ⅲ)的一个极大线性无关组，又因同一向量组中的极大线性无关组必等价，故α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价．显然组(Ⅰ)与α
1
，α
2
，…，α
r
等价，组(Ⅱ)与β
1
，β
2
，…，β
r
等价，故组(Ⅰ)与组(Ⅱ)必等价(等价的传递性)． 证二 因组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表示，故α
1
，α
2
，…，α
r
可由β
1
，β
2
，…，β
r
线性表示，于是存在r阶矩阵A，使 (α
1
，α
2
，…，α
r
)=(β
1
，β
2
，…，β
r
)A． 利用下述命题：设α
1
，α
2
，…，α
r
和β
1
，β
2
，…，β
r
(r≤n)都是n维向量，如果β
1
，β
2
，…，β
r
线性无关且 (α
1
，α
2
，…，α
r
)=(β
1
，β
2
，…，β
r
)A， 其中A为r阶矩阵，则α
1
，α
2
，…，α
r
线性无关的充分必要条件是A为可逆矩阵． 可知，A为可逆矩阵，且(β
1
，β
2
，…，β
r
)=(α
1
，α
2
，…，α
r
)A
—1
．则β
1
，β
2
，…，β
r
可由α
1
，α
2
，…，α
r
线性表出，由等价的定义知α
1
，α
2
，…，α
r
与β
1
，β
2
，…，β
r
等价．又组(Ⅰ)与α
1
，α
2
，…，α
r
等价，组(Ⅱ)与β
1
，β
2
，…，β
r
，等价，由等价的传递性得到组(Ⅰ)与组(Ⅱ)等价．
解析
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