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设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f’’(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f’(c)|≤2a+
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f’’(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点. (1)写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式; (2)证明:|f’(c)|≤2a+
admin
2018-05-22
56
问题
设f(x)在[0,1]上二阶可导,且|f(x)|≤a,|f’’(x)|≤b,其中a,b都是非负常数,c为(0,1)内任意一点.
(1)写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式;
(2)证明:|f’(c)|≤2a+
选项
答案
(1)f(x)=f(c)+f’(c)(x-c)+[*](x-c)
2
,其中ξ介于c与x之间. (2)分别令x=0,x=1,得 f(0)=f(c)-f’(c)c+[*]c
2
,ξ
1
∈(0,c), f(1)=f(c)+f’(c)(1-c)+[*](1-c)
2
,ξ
2
∈(c,1), 两式相减,得f’(c)=f(1)-f(0)+[*](1-c)
2
,利用已知条件,得 |f’(c)|≤2a+[*][c
2
+(1-c)
2
], 因为c
2
+(1-c)
2
≤1,所以|f’(c)|≤2a+[*]
解析
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考研数学二
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