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设f(x)在区间[a,b]上存在一阶导数,且fˊ(a) ≠fˊ(b).则必存在x0∈(a,b)使 ( )
设f(x)在区间[a,b]上存在一阶导数,且fˊ(a) ≠fˊ(b).则必存在x0∈(a,b)使 ( )
admin
2018-07-23
125
问题
设f(x)在区间[a,b]上存在一阶导数,且fˊ(a) ≠fˊ(b).则必存在x
0
∈(a,b)使 ( )
选项
A、fˊ(x
0
)> fˊ(a).
B、fˊ(x
0
)> fˊ(b).
C、fˊ(x
0
)=
[5fˊ(b)+2fˊ(a)].
D、fˊ(x
0
)=
[5fˊ(b)-2fˊ(a)].
答案
C
解析
由于fˊ(a)≠fˊ(b),不妨设fˊ(a)< fˊ(b).于是有
所以fˊ(a)<
[5fˊ(b)+2fˊ(a)]< fˊ(b).
若fˊ(a)> fˊ(b),类似地可证fˊ(a)>
[5fˊ(b)+2fˊ(a)]> fˊ(b).
一般地,设μ为介于fˊ(a)与fˊ(b)之间的任意一个确定的值.在本题条件下有结论:存在x
0
∈(a,b)使
fˊ(x
0
)=μ.
这个定理有点类似于连续函数介值定理,不过这里并不需要fˊ(x)连续而只要在[a,b] 上fˊ(x)存在即可.此定理在一般教科书上没有讲,但考研中经常用到.证明如下:令
ф(x)= f (x)-μx.
有
фˊ(x)= fˊ(x)-μ.
фˊ(a)= fˊ(a)-μ<0.фˊ(b)= fˊ(b)-μ>0.
于是知,存在x
1
∈(a,b)使ф (x
1
)<ф (a).又存在x
2
∈(a,b) (b)使中ф (x
2
)<ф (b),故ф (a)与ф (b)都不是ф(x)在[a,b]上的最小值.但ф(x)是在[a,b]的连续函数,它在[a,b]上必有最小值.记ф(x)在[a,b]上的最小值点x
0
∈(a,b),由费马定理知,有фˊ(x
0
)=0.即存在x
0
∈(a,b)使
fˊ(x
0
)=μ.
回到本题,由于μ=
[5fˊ(b)+2fˊ(a)]介于fˊ(a) 与fˊ(b)之间,所以存在x
0
∈(a,b)使
fˊ(x
0
)=
[5fˊ(b)+2fˊ(a)].[img][/img]
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