2. 考研
  3. 设f(x)在区间[a，b]上存在一阶导数，且fˊ(a) ≠fˊ(b)．则必存在x0∈(a，b)使 ( )

设f(x)在区间[a，b]上存在一阶导数，且fˊ(a) ≠fˊ(b)．则必存在x0∈(a，b)使 ( )

admin2018-07-23  125
问题 设f(x)在区间[a，b]上存在一阶导数，且fˊ(a) ≠fˊ(b)．则必存在x0∈(a，b)使    (    )
选项 A、fˊ(x0)> fˊ(a)．
B、fˊ(x0)> fˊ(b)．
C、fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)]．
D、fˊ(x0)=[5fˊ(b)－2fˊ(a)]．
答案C
解析 由于fˊ(a)≠fˊ(b)，不妨设fˊ(a)< fˊ(b)．于是有

所以fˊ(a)< [5fˊ(b)+2fˊ(a)]< fˊ(b)．
若fˊ(a)> fˊ(b)，类似地可证fˊ(a)> [5fˊ(b)+2fˊ(a)]> fˊ(b)．
一般地，设μ为介于fˊ(a)与fˊ(b)之间的任意一个确定的值．在本题条件下有结论：存在x0∈(a，b)使
fˊ(x0)=μ．
这个定理有点类似于连续函数介值定理，不过这里并不需要fˊ(x)连续而只要在[a，b] 上fˊ(x)存在即可．此定理在一般教科书上没有讲，但考研中经常用到．证明如下：令
ф(x)= f (x)－μx．
有
фˊ(x)= fˊ(x)－μ．
фˊ(a)= fˊ(a)－μ<0．фˊ(b)= fˊ(b)－μ>0．
于是知，存在x1∈(a，b)使ф (x1)<ф (a)．又存在x2∈(a，b) (b)使中ф (x2)<ф (b)，故ф (a)与ф (b)都不是ф(x)在[a，b]上的最小值．但ф(x)是在[a，b]的连续函数，它在[a，b]上必有最小值．记ф(x)在[a，b]上的最小值点x0∈(a，b)，由费马定理知，有фˊ(x0)=0．即存在x0∈(a，b)使
fˊ(x0)=μ．
回到本题，由于μ=[5fˊ(b)+2fˊ(a)]介于fˊ(a) 与fˊ(b)之间，所以存在x0∈(a，b)使
fˊ(x0)=[5fˊ(b)+2fˊ(a)]．[img][/img]
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考研数学二

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